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Allez, un peu de maths et quelques vieux souvenirs émus. Le Théorème Central Limite établit la convergence en loi de la somme d’une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne.

Et comme nous, les Francais, sommes très fort pour dire d’une façon complexe ce qui pourrait être exprimée plus simplement, voila la définition anglaise que je trouve plus straightforward:

« In probability theory, the Central Limit Theorem states that, given certain conditions, the mean of a sufficiently large number of independent random variables, each with a well-defined mean and well-defined variance, will be approximately normally distributed. »

Victor Powell montre dans une animation la distribution d’une variable aléatoire qui tombent sur des triangles dans une distribution normale, vous pouvez jouer avec le nombres de triangles et la vitesse de distribution et voir la distribution gaussienne se constituer:

Cliquez sur l’image pour accéder à l’animation!

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L’image du jour, bonne semaine à tous!

20121119-075318.jpg

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With over two hundreds elaborate diagrams and photographs, George L. Legendre offers a selection of mathematical equatinos and descriptions of unusual pasta shapes !!

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:D

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In 1937, mathematician Lothar Collatz proposed that given the following algorithm, you will always end at the number 1:

1. Take any natural number, n.
2.a. If n is even, divide it by 2.
2.b. Otherwise, n is odd. Multiply it by 3 and add 1.
3. Repeat indefinitely.

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Les statisticiens du monde entier peuvent féliciter leur collegue Mohan Srivastava, qui a utilisé son savoir-faire pour découvrir l’algorithme derriere l’un des jeux « a gratter » les plus populaires des Etats Unis : un jeu de tic-tac-toe (morpion). 

Le principe est simple, voila le ticket que vous achetez chez votre commercant :

Si, en grattant toutes les cases de la colonne de gauche (cases vertes) vous obtenez 3 nombres qui apparraissent alignés dans les grilles de droite, vous gagnez la somme correspondante !

Après avoir remporté trois dollars sur un jeu qui lui a été offertpar un ami, Srivastava s’est interrogé sur la façon dont les tickets etaient construits…

Il s’est ainsi rendu compte que le caractère aléatoire apparent du jeu n’était qu’une façade, un mensonge mathématique. Et que cela signifiait que les algorythmes derriere les tickets a gratter pouvaient être résolus!

Mais avant de vous expliquer la maniere permettant de trouver, a 90% des coups, les tickets gagnants, un peu d’histoire sur les tickets de lotterie aux Etats Unis :

L’industrie des tickets de lotterie rapporte au gouvernement américain plus de 70 milliards de dollars par an, une industrie bien plus importante que celle des billets de cinéma, de la musique, et du pornographique rassemblés!!

Et ce n’est pas nouveau! Les billets de lotterie ont été utilisés pour financer les colonies américaines et aidé à financer la jeune nation. Durant les 18e et 19e siècles, ces loteries ont financé le developpement de Harvard et Yale et ont permis la construction de lignes de chemins de fer à travers le continent!

Encore aujourd’hui, dans certains États, les revenus des loterie financent plus de 5% du budget de l’éducation!

Maintenant, passons aux choses sérieuses et voila comment faire pour résoudre ce jeu :

Etape 1 :

Rechercher sur la grille visible (a droite, en bleu) tous les singletons (chiffres qui n’apparaissent qu’une seule fois) et compter le nombre d’apparition des autres.


Etape 2:

Faire un « graphique » de la grille, en marquant chaque cellule par un nombre indiquant le nombre d’apparition de  ce chiffre sur toute la carte.

Si, par exemple, une cellule indique 26  et que ce numéro se produit une autre fois quelque part sur la carte, on marque 2 a la place de cette cellule.

Etape 3 : Tous les singletons sont désormais marqué d’un 1.  Alors, il ne reste plus qu’a regarder s’il y a une ligne de singletons, si oui, le billet est presque certainement gagnant car les numéros de ces cellules apparaitront (avec une probabilité de 90%) sur le côté gauche du billet: Gardez le billet!!

Etape 4:

Grattez le latex. Vous avez un gagnant!

Je n’etonnerais personne en vous disant qu’apres que Srivastava ait alerté la Société des Loteries de l’Ontario, le jeu a été retiré des magasins!!

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